Канонические преобразования.

Уравнения Лагранжа инварианты по отношению к точечному преобразованию координат. Канонические уравнения Гамильтона могут быть подвержены более широкому классу преобразований: 2s преобразованиям независимых переменных q и p.

Обобщ. координаты и импульсы являются равноправными независимыми переменными. Однако канонические уравнения Гамильтона сохраняют свой вид не при всех преобразованиях. Те из них, для которых будет выполняться с некоторой новой функцией Гамильтона, будут называться каноническими преобразованиями.

Запишем принцип Гамильтона в виде . Для новых, штрихованных переменных этот принцип будет также справедлив. . Эти равенства будут эквивалентны друг другу, если подынтегральные выражения отличаются на полный дифференциал некоторой функции, завис. от координат, импульсов и времени ( при взятии интеграла от дифференциала такой функции получим разность ее значений на границах интегрирования, а вариация такой разности в силу ГУ равно нулю). То есть . F – производящая функция. , откуда следует Новая функция Гамильтона будет равна . Иногда удобно использовать производящую функцию, у которой независимыми являются старые координаты и новые импульсы. Учтем равенство

Запишем дифференциал производящей функции в виде (все дифференциалы собрав слева)

. Слева – преобразование Лежандра = новой производящей функции Ф. Получим следующие преобразования . Разность всегда равна частной производной производящей функции по времени. Если она не зависит от времени ясно, то старая и новая функция Гамильтона равны. В этом случаи для нахождения новой функции Гамильтона достаточно подставить в старую функцию Гамильтона старые переменные q и p, выраженные через новые q’ и p’.

Если есть преобразование с производной функцией , то .