Движение в центральном поле. Атом водорода: волновые функции и уровни энергии.

Для стационарных состояний:

В сферической СК:

Будем рассматривать стационарные состояния с определенными значениями момента и его проекции .

, – сферические функции.

Так как , то для радиальной функции получим:

При в атомных единицах () уравнение примет вид:

При движение финитно и энергетический спектр дискретен. Обозначим .

При , опуская члены, пропорциональные и , получим:

Подставим :

Представим в виде степенного ряда:

,

где .

Отсюда энергетический спектр , или, в обычных единицах,

Состояния с заданным l , но различными m , описываются одним и тем же радиальным волновым уравнением.

При этом состояния с различными l , принадлежащими одному и тому же значению n , оказываются вырожденными, т.е. в случае кулоновского поля возникает дополнительное «случайное» вырождение по орбитальному квантовому числу.

Выражение для радиальной волновой функции атома водорода:

,

Где - нормировочный коэф-т, а - обобщенные полиномы Лагерра.