Линейный квантовый гармонический осциллятор. Энергии и волновые функции стационарных состояний.

Введем операторы: .

– оператор рождения, – оператор уничтожения. Если выразить эти операторы через и и воспользоваться коммутационными соотношениями для , то можно показать, что .

Гамильтониан, выраженный через новые операторы:

.

Пусть мы нашли решение . Рассмотрим состояние :

.

Таким образом, оператор уменьшает энергию на , – увеличивает на , и эти операторы строят ненормированные ВФ новых состояний. Найдем один уровень:

введем основное состояние – вакуум.

В координатном представлении .

– энергия основного состояния.

Можно доказать следующие равенства:

Все ВФ строятся следующим образом:

Количество нулей ВФ совпадает с .