З-н Ома в дифф-ной форме

З-н Ома (57.1) и ф-ла (59.1) позволяют найти силу тока в проволоках и вообще в тех случаях, когда трубки тока явл-ся цилиндрами пост-ого сечения. Однако часто приходится вычислять силу тока в проводящих средах, в к-рых трубки тока не имеют цилинд-ой формы.

Однако з-н Ома м/о представить в другой форме, к-рая пригодна и для решения з-ч о токах в проводящих средах.

Рассм. в однородной и изотропной проводящей среде небольшой отрезок трубки тока длины Δl (рис. 86) и два близких эквипотенциальных ее сечения 1 и 2. Обозначим их потенциалы ч/з U₁ и U₂, а ср-юю площадь сечений – ч/з ΔS. Применяя к этому отрезку з-н Ома (57.1) и ф-лу (59.1), получим

или, сокращая на AS и вводя удельную эл-ую проводимость среды λ = 1/ρ получим

Чтобы последняя ф-ла была совершенно точна, нужно перейти к пределу при Δ/ → 0, т.к. т/о в этом случае рассм-ый отрезок трубки м/о считать цилинд-им и применять к нему ф-лу (59.1). Но

где Е – напр-ость эл-ого поля внутри пров-ка. Учитывая далее, что J и Е суть векторы, и что внутри изотропных сред они направлены одинаково, находим

(61.1)

Это соотношение носит назв. дифф-ной формы з-на Ома. В отличие от (57.1) (интегральной формы з-на Ома), оно содержит величины, характеризующие эл-ое состояние среды в одной и той же точке.

В анизотропных средах, каковыми, н-р, явл-ся мн. кристаллы, направления j и Е, вообще говоря, уже не совпадают. В этом случае вместо ф-лы (61.1) получается более сложное соотношение..

Поле Е, входящее в (61.1), есть поле внутри проводящей среды при наличии тока. М/о, однако, показать, что е/и проводящая среда однородна, то во всех практически интересных случаях это поле совпадает с э/с-им полем E_ст, т. е. с полем, к-рое существовало бы м/у данными электродами, е/и бы м/у ними было то же напряжение, что и при наличии тока, а вместо проводящей среды был бы вакуум. Отсюда следует, что в однородном пров-ке линии напр-ости э/с-ого поля совпадают с линиями тока Для вычисления силы тока в проводящих средах поступают следую­щим образом. Сначала находят по заданному напряжению м/у электродами напр-ость поля внутри -проводящей среды, т. е. решают з-чу э/с, и потом, пользуясь ф-лой (61.1), опр- ют плотность тока j в каждой точке среды. Затем мысленно выделяют к-л замкнутую поверх-ть S, целиком окружающую один из электродов, и находят силу тока i, согласно (53.3), как поток вектора j ч/з эту поверх-ть. Разумеется, замкнутую поверх-ть S следует выбирать, сообразуясь с усл.ми симметрии з-чи, чтобы вычисления были простыми.