Рух дзиги з нерухомою точкою. Кути Ейлера та квадратурні формули.

Дзига- тверде тіло з віссю симетрії, тобто у якого два головних значення тензора інерції співпадають.

Якщо дзига обертається з нерухомою точкою опори, що лежить на осі симетрії, то відносно цієї точки, як полюса тензор інерції буде також діагональним і матиме дві рівні компоненти :

Кінетична енергія : , з компонентами кут.

Підстановка кінематичних рівнянь дає :

Функція лагранжа : l – відстань від полюса до ЦМ.

Видно, що координати ψ та φ є циклічними і відповідні узагальнені імпульси зберігаються :

виразивши похідні кутів ψ та φ через їх узагальнені імпульси отримаємо квадратурні формули :

в ці квадратурні формули входить кут θ , як функція від часу.

Підставивши виражені через θ та в функцію Лагранжа можна побудувати Лагранжеву енергію,що зберігається за умовами задачі :

Перегрупувавши доданки, поділивши на і ввівши позначення :

отримаємо :

, де - поліном третього степеня відносно u = cosθ.

Інтегрування матиме зміст для θ лише на відрізку [-1;1], значення полінома має бути в цій області додатним, оскільки час – дійсна величина.

З формули полінома видно, що в точках ε , -1 , +1 він від’ємний, тому, щоб він міг бути додатним в деяких точках відрізку [-1;1] має бути : ε >-1 - обмеження на енергію, при малих енергіях рух неможливий.

В загальному випадку поліном має три кореня і його можна розкласти на множники

Нехай : тоді :

з означення неповного еліптичного інтегралу 2-го роду :

отже ζ є амплітудою Якобі і cosθ виразиться через еліптичний синус :

- квадратурна формула для θ.

З формули видно, що в залежності від початкових умов (узагальнених імпульсів) кут прецесії може бути монотонним або немонотонним.