11.3. Линейчатый спектр атома водорода

Спектр излучения атомарного водорода состоит из отдельных спектральных линий, которые располагаются в определенном порядке. В 1885 г. Бальмер установил, что длины волн (или частоты) этих линий могут быть представлены формулой.

, (8)

где R = 2,07? 10¹⁶ с ^-1 – постоянная Ридберга. Учитывая, что 1/l = v/с = w/2pс и используя (8), найдем

, (9)

где R =1,0974?10⁷ м^-1 – называется также постоянной Ридберга.

На рис. 1 изображена схема энергетических уровней атома водорода, рассчитанных согласно (6) при z = 1.

Е_n, эВ

0 n = ¥

n = 4

СП

СБ

	-13,6

СЛ

При переходе электрона с более высоких энергетических уровней на уровень n=1 возникает ультрафиолетовое излучение или излучение серии Лаймана (СЛ).

Частоты или длины волн, возникающего при этом излучения, определяются по формулам (8) или (9) при m=1 – для серии Лаймана, при m=2 – для серии Бальмера и при m = 3 – для серии Пашена. Энергия фотонов определяется по формуле (7), которую с учетом (6) можно привести для водородоподобных атомов к виду:

, эВ (10)

Теория Бора сыграла огромную роль в создании атомной физики. В период ее развития (1913 – 1925 г.) были сделаны важные открытия, например, в области атомной спектроскопии. Однако в теории Бора обнаружились существенные недостатки, например, с ее помощью невозможно создать теорию более сложных, чем атом водорода, атомов. Поэтому становилось очевидным, что теория Бора представляет собой переходной этап на пути создания последовательной теории атомных и ядерных явлений. Такой последовательной теорией явилась квантовая (волновая) механика.

11.4 Атом водорода согласно квантовой механики. Квантовые числа электрона в атоме

Результаты, полученные согласно теории Бора в решении задачи об энергетических уровнях электрона в водородоподобных атомах, получены в квантовой механике без привлечения постулатов Бора. Покажем это.

Состояние электрона в водородоподобном атоме описывается некоторой волновой функцией y, удовлетворяющей стационарному уравнению Шредингера [см.(9.22)]. Учитывая, что потенциальная энергия электрона

(11)

где r – расстояние между электроном и ядром, получим уравнение Шредингера в виде

(12)

Целесообразно воспользоваться сферической системой координат r, q, j и искать решение этого уравнения в виде следующих собственных функций

(13)

где n, l, m – целочисленные параметры собственных функций. При этом n – называют главным квантовым числом, l – орбитальным (азимутальным) и m – магнитным квантовым числом.

Доказывается, что уравнение (12) имеет решение только при дискретных отрицательных значениях энергии

, (14)

где n = 1, 2, 3,... – главные квантовые числа.

Сравнение с выражением (6) показывает, что квантовая механика приводит к таким же значениям энергии, какие получились и в теории Бора. Однако в квантовой механике эти значения получаются как следствие основных положений этой науки.

Подставив в (14 ) Z = 1 и приняв n = 1, получим значение энергии основного состояния (т.е. состояния с наименьшей энергией) атома водорода

эВ. (15)

Из решения (13) уравнения Шредингера (12) также следует, что момент импульса электрона в атоме квантуется по формуле

(16)

где l= 0, 1, 2, ... (n-1) – орбитальное (азимутальное) квантовое число.

Проекция момента импульса L электрона на направление Z магнитного поля может принимать лишь целочисленные значения, кратные (пространственное квантование) т.е.

(17)

m – называют магнитным квантовым числом. При данном магнитное квантовое число может принимать различных значений.

l=1 l=2 Рис. 2

Первоначально предполагалось, что спин обусловлен вращением электрона вокруг своей оси. Позднее было показано, что спин имеет квантовую природу. Спин следует считать внутренним свойством, присущим электрону, подобно тому, как ему присущ и заряд и масса.

Собственный момент импульса электрона L_S (спин) выражается через спиновое квантовое число s равное 1/2, т.е. спин квантуется по закону

.

Проекция спина на заданное направление z может принимать два квантованных значения

,

где m_s = ± s = ± 1/2 называют магнитным спиновым квантовым числом или просто спиновым квантовым числом, т.е. также как и s.