Закон Кирхгофа

Для характеристики теплового излучения, мы будем пользоваться величиной потока энергии, измеряемой в ваттах.

Поток энергии, испускаемый единицей поверхности излучающего тела по всем направлениям (в пределах телесного угла 2π), называют энергетической све­тимостью тела R_э.

Излучение состоит из волн различных частот ω (или длин λ). Обозначим поток энергии, испускаемый едини­цей поверхности тела в интервале частот dω, через dR_ω (чтобы не усложнять обозначений, мы опустили индекс «э» при R). При малой величине интервала dω поток dR_ω будет пропорционален dω

(1)

Величина r_ω называется испускательной спо­собностью тела. Опыт показывает, что испускательная способность сильно зависит от температуры тела. Таким образом, r_ω есть функция частоты и температуры. Соответственно и энергетическая светимость является функцией температуры.

Зная испускательную способность, можно вычислить энергетическую светимость:

(2)

(чтобы подчеркнуть, что энергетическая светимость и испускательная способность зависят от температуры, мы их снабдили индексом «T»).

Излучение можно характеризовать вместо частоты со длиной волны λ. Участку спектра dω будет соответство­вать интервал длин волн dλ. Определяющие один и тот же участок величины dω и dλ связаны простым соотно­шением, вытекающим из формулы: λ = c/v = 2πс/ω. Диф­ференцирование дает:

(3)

Знак минус в этом выражении не имеет существенно­го значения, он лишь указывает на то, что с возраста­нием одной из величин, ω или λ, другая величина убы­вает.

Доля энергетической светимости, приходящаяся на интервал dλ, может быть по аналогии с (1) предста­влена в виде:

(4)

Если интервалы dw и dl, входящие в выражения (1) и (4), связаны соотношением (3), т. е. отно­сятся к одному и тому же участку спектра, то величины dR_ω и dR_λ, должны совпадать:

.

Заменив в последнем равенстве dl согласно (3), получим:

,

откуда

С помощью (5) можно перейти от r_λ к r_ω и на­оборот.

Пусть на элементарную площадку поверхности тела падает поток лучистой энергии dΦ_ω, обусловленный элек­тромагнитными волнами, частота которых заключена в интервале dω. Часть этого потока dΦ′_ω будет поглощена телом. Безразмерная величина

(6)

называется поглощательной способностью тела. Поглощательная способность зависит от темпера­туры тела. Следовательно, а_ωТ есть функция частоты и температуры.

По определению а_ωТ не может быть больше единицы. Для тела, полностью поглощающего упавшее на него из­лучение всех частот, а_ωТ = 1. Такое тело называют абсолютно черным. Тело, для которого а_ωТ = а_Т = const < 1, назы­вается серым.

Между испускательной и поглоща­тельной способностью любого тела имеется определенная связь. В этом можно убедиться, рассмотрев следую­щий эксперимент.

,

где индексы 1, 2, 3 и т. д. относятся к разным телам.

Кирхгоф сформулировал следующий закон: отноше­ние испускательной и поглощательной способностей не зависит от природы тела, оно является для всех тел одной и той же, (универсальной) функцией частоты (длины волны) и температуры:

(7)

Сами величины r_ωТ и а_ωТ, взятые отдельно, могут ме­няться чрезвычайно сильно при переходе от одного тела к другому. Отношение же их оказывается одинаковым для всех тел. Это означает, что тело, сильнее поглощаю­щее какие-либо лучи, будет эти лучи сильнее и испускать (не следует смешивать испускание лучей с их отраже­нием).

Для абсолютно черного тела по определению а_ωТ = 1. Следовательно, нз формулы (7) вытекает, что r_ωТ для такого тела равна f(ω,Т).

При теоретических исследованиях для характеристики спектрального состава равновесного теплового излучения удобнее пользоваться функцией частоты — f(ω,Т). В экс­периментальных работах удобнее пользоваться функцией длины волны — φ(λ,Т). Обе функции связаны друг с другом формулой

, (8)

аналогичной формуле (5). Согласно (8) для того, чтобы по известной функции f(ω,Т) найти φ(λ,Т), нуж­но заменить в f(ω,Т) частоту ω через 2πс/λ и получив­шееся выражение умножить на 2πс/λ²:

(9)

Для нахождения f(ω,Т) по известной φ(λ,Т) нужно воспользоваться соотношением:

(10)

Абсолютно черных тел в природе не существует. Сажа или платиновая чернь имеют поглощательную способ­ность а_ωТ, близкую к единице, лишь в ограниченном интервале частот; в далекой инфракрасной области их поглощательная способность заметно меньше единицы. Однако можно создать устройство, сколь угодно близкое по своим свойствам к абсолютно черному телу.

Такое устройство представляет собой почти замкнутую полость, снабженную малым отверстием (рис. 3). Излучение, проникшее внутрь через отверстие, прежде чем выйти об­ратно из отверстия, претерпевает многократные отраже­ния. При каждом отражении часть энергии поглощается, в результате чего практически все из­лучение любой частоты поглощает­ся такой полостью. Согласно за­кону Кирхгофа испускательная спо­собность такого устройства очень близка к f(ω,Т), причем Т означает температуру стенок полости.

Кривые на рис. 4 очень похожи на кривые распре­деления молекул газа по скоростям. Правда, есть и существенное отличие. В то время как кривые распределения по скоростям для разных темпе­ратур пересекают друг друга (охватываемые ими площа­ди одинаковы), кривые спектрального распределения из­лучения абсолютно черного тела для более низких тем­ператур целиком лежат внутри кривых, соответствующих более высоким температурам (как мы увидим в следующем параграфе, площадь, охватываемая этими кривыми, пропорциональна четвертой степени температуры).

Из рис. 4 следует, что энергетическая светимость аб­солютно черного тела сильно возрастает с температурой. Максимум испускательной способности с увеличе­нием температуры сдвигается в сторону более коротких волн.