Фильтрация спектрозональных изображений

Под фильтрацией изображений понимается операция, в результате которой получается изображение того же размера, полученное из исходного по некоторым правилам.

Процедура фильтрации сложно структурированных изображений является наиболее рациональной процедурой, различные виды фильтрации приведены в [51-56].

Рассмотрим наиболее используемые из них.

Линейная фильтрация

Данный тип фильтрации находит широкое применение в оптических системах обработки информации. Она основана на применении быстрых алгоритмов свертки и анализа спектральных диапазонов.

В качестве линейного сглаживающего фильтра используется усредняющий фильтр, выходным значением которого является среднее значение по окрестности маски фильтра.

Данная фильтрация может решить проблему зернистости изображения.

Линейный фильтр можно записать следующим образом:

где G_i,j- элемент матрицы изображения после фильтрации; W_s,_t- элемент массива ядра свертки изображения, имеющий размеры m?ιr, E_ij- элемент матрицы исходного изображения.

Винеровская фильтрация

Данный тип фильтрации учитывает априорное значение статистических свойств шума на обрабатываемых изображениях, что позволяет повысить их качество. В основу положен винеровский фильтр, использующийся при локальной обработке изображений. Если значение среднего квадратического

отклонения интенсивностей пикселей в локальной области изображения высокое, то данный фильтр выполняет небольшое сглаживание и наоборот: если значение среднего квадратического отклонения интенсивности пикселей в локальной области низкое, то фильтру приходится выполнять большое сглаживание.

Использование данного типа фильтрации является более эффективным, чем обычная линейная фильтрация.

Частотная фильтрация

Частотная фильтрация основывается на преобразованиях Фурье, смысл которого заключается в представлении исходной функции в виде суммы тригонометрических функций различных частот, умноженных на заданные коэффициенты.

Использование частотной фильтрации позволяет обрабатывать изображения в частотной области, после чего без потери информации вернуться к исходному виду.

Пространственная фильтрация

Пространственная фильтрация применяется к растровым изображениям, представленным в виде двумерных матриц. Принцип пространственной фильтрации заключается в применении специальных операторов к каждой точке исходного изображения. В качестве операторов выступают прямоугольные или квадратные матрицы называемые масками. Чаще всего маска представляет собой небольшой двумерный массив.

Согласованная фильтрация

Данный тип фильтрации применяется в обработке изображений для обнаружения и выделения объектов на изображениях.

В случае, когда известен вид обнаруживаемого образа (сцены), применяется согласованная фильтрация, то есть используются фильтры, настроенные точно под ожидаемый вид образа или сцены.

Инверсная (обратная) фильтрация

Обратная фильтрация применяется для оптико-электронных систем, работающих с изображениями, на которых присутствует большое количество внешних шумов.

Данный тип фильтрации применяется в случае, когда полезный сигнал и возникшая помеха имеют близкий друг к другу частотный состав.

Вейвлет-фильтрация

Термин «вейвлет» (с англ. «маленькая волна») впервые появился в середине 80-х годов в связи с анализом сейсмических и акустических сигналов. В настоящее время вейвлеты нашли широкое применение в задачах распознавания образов, обработки различных сигналов, анализа различных изображений, изучения свойств турбулентных полей, сжатия больших объемов информации и во многих других случаях.

Главное отличие вейвлет-преобразования от широко используемого преобразования Фурье заключается в том, что оно обеспечивает двумерную развертку сигнала, при этом его частота и координата рассматриваются как независимые переменные, что позволяет проводить анализ сигнала одновременно в физическом и частотном пространствах.

В научных исследованиях, которые рассматривают частотно-временную динамику сложных процессов и систем, часто используется непрерывное вейвлет- преобразование. Оно построено на использовании аналитических базисных функций [57-59]. Такой вид вейвлет-преобразования является наглядным и информативным вариантом, однако имеет такой недостаток как избыточность. Многие коэффициенты содержат информацию, которая дублируется в других

коэффициентах, что приводит к существенному увеличению времени для проведения вычислений. Скорость вычисления непрерывного вейвлет- преобразования существенно ограничивает возможность обработки изображений в режиме реального времени.

В связи с этим появились алгоритмы дискретного вейвлет-преобразования, которые заметно выигрывают по скорости вычисления [60,61].

Данные подходы на основе непрерывного вейвлет-преобразования и дискретного вейвлет-преобразования имеют разные принципы построения: либо в виде таблиц значений коэффициентов фильтров, либо в аналитической форме записи.

Применение дискретного вейвлет-преобразования для цифровой обработки и фильтрации изображений является более интересным подходом по сравнение с часто используемым преобразованием Фурье в связи с тем, что существует возможность эффективного устранения локальных помех. Дискретное вейвлет- преобразование производит разложение изображения на составляющие в разных масштабах наблюдения [62].

Улучшенным методом дискретного вейвлет-преобразования является метод дуального комплексного вейвлет-преобразования. Данный метод предусматривает независимое вычисление двух дискретных вейвлет-преобразований, в результате чего определяются действительные и мнимые части вейвлет-коэффициентов [63].

Проведенные экспериментальные исследования показали, что данный метод является модернизацией дискретного вейвлет-преобразования. Он сохраняет все преимущества дискретного вейвлет-преобразования, но также дополнительно позволяет работать с амплитудами и фазами вейвлет-коэффициентов.

Несмотря на развитие различных методов цифровой обработки изображений, использующих вейвлет-преобразование, задача выбора конкретного способа фильтрации остается актуальной.

В целом обработка изображений включает в себя два этапа: предварительная обработка, которая помогает улучшить свойства исходного изображения, и

тематическая обработка, целью которой является извлечение информации, необходимой потребителю.

Любая из процедур обработки изображений опирается на модель класса изображений - формализованное описание. Роль данной модели состоит в обеспечении адекватного описания свойств класса изображений, которые позволят эффективно в дальнейшем провести вычислительные процедуры.

Во многих случаях реальные изображения могут быть описаны моделью случайного поля в виде суммы двух компонент:

s (х,у) = s₁(x,y) + S₂(x,y), (1.1)

где s (х ,у) - поле яркости, х,у - аргументы, определяющие плоскость изображения, s ₁(х, у) - медленно изменяющееся поле двух переменных, s ₂( х , у) - стационарное поле.

Представленная выше модель хорошо работает с вейвлет-разложением f (х , у) , так как оно может быть представлено в виде суммы двух компонент: где ^ι. i', ⅞ - набор коэффициентов,- случайные поля с нормальным

распределением, y(.v,y) - преобразование Фурье, у) - остаточная функция пороговой обработки.

В большинстве задач в качестве базисных функций для реализации дискретного вейвлет-преобразования применяют вейвлеты Добеши [64], впервые использованные в 80-ых годах 20-го века.

В случае, когда Л/ ∈Л’, вейвлет Добеши представляет собой функцию, которая определяется следующим образом:

где Л,;..... - постоянные коэффициенты, которые удовлетворяют

условию

Рассмотрим алгоритм фильтрации изображений на основе дискретного вейвлет-преобразования.

1 шаг. Однократное прохождение квадратурных зеркальных фильтров сигналом x(i).

2 шаг. Прореживание выходных изображений.

3 шаг. Повторная подача прореженных изображений на вход фильтров.

Несмотря на то, что каждый из временных рядов имеет диапазон частот вдвое меньше, чем изображение до фильтрации, при обратном преобразовании восстановить исходное изображение возможно благодаря наличию двух последовательностей на выходах каждого из фильтров.

Величина порога и вариант задания пороговой функции сильно влияют на качество фильтрации изображения. Поэтому важно правильно выбирать вариант задания пороговой функции.

На рисунках 1.12-1.13 изображены три варианта задания пороговой функции для коэффициентов вейвлет-преобразования [65].

Рисунок 1.12 - Задание пороговой функции при вейвлет-фильтрации: а) исходный сигнал, б) жесткий вариант задания пороговой функции

Рисунок 1.13 - Задание пороговой функции при вейвлет-фильтрации: мягкий вариант задания пороговой функции

Рассматривая вариант 1.12а), можно сделать вывод, что наблюдается отсутствие корректировок коэффициентов.

Для варианта 1.12б) функция задается следующим видом:

При таком варианте неизменными остаются наиболее значимые вейвлет- коэффициенты, а малые коэффициенты обнуляются.

Для варианта, представленного на рисунке 1.13, пороговую функцию можно описать следующим образом

При работе с изображениями процедура разложения по вейвлетам предусматривает переход от одномерной к двухмерной реализации дискретного вейвлет-преобразования. В процессе обработки исходное изображение на каждом этапе разлагается на четыре изображения более меньшего размера.

Для того, чтобы оценить эффективность представленных выше подходов выбора задания пороговой функции, следует ввести понятие средней квадратичной ошибки (СКО)

где x(i)- исходный сигнал с помехами, y(i)- отфильтрованный сигнал, ∖x(i)- y(i)∖- шумовая составляющая.

СКО дает возможность провести сравнение двух сигналов и на его базе увидеть все различия и сходства между двумя сигналами. В каждый момент времени происходит оценка полученных ошибок с двух сигналов вне зависимости есть ли на них помехи или нет, после чего происходит процесс её усреднения. Важно, что среднеквадратичная ошибка не зависит от пространственных или временных параметров исходного сигнала.

Кроме средней квадратичной ошибки при анализе изображений рассматривают отношение сигнал/шум

При анализе изображений соотношения (1.6)-(1.7) необходимо записать следующим образом:

67

В любом векторном пространстве необходимо определять расстояния, вычисляемые через норму [66].

Пусть функция i',_γr,(Λj₁(i ∈₁ζ{0],b ей формирует набор таких функций, каждая из которых получена путем операций сдвига и масштабирования одной и той же исходной функции ⅛(,v) ∈L₂(R k

Нормализация (1.8) гарантирует, что норма не зависит от параметров а и b.

Функция/ ' £₂(Л] будет называться вейвлетом при выполнении условия

допустимости:

где ⅛‰) - преобразование Фурье функции ⅛∙'(.γ).

Условие допустимости (1.9) приводит к следующему свойству вейвлета:

что показывает хорошую локализацию функции.

Пусть задана функция /(.