8.11. Примеры решения задач для электростатики и постоянного тока

Пример 1. Два положительных точечных заряда 9q и -q закреплены на расстоянии ℓ=50 см друг от друга. Третий заряд q₃ может перемещаться только вдоль прямой, проходящей через заряды.

q1=9q, q2=-q, q3 ℓ=50 см.
R – ?

Ось «х» ИСО лежит на прямой . Заряд q₃ находится в равновесии в том случае, если геометрическая сумма сил, действующих на него, равна нулю. Это значит, что на заряд q₃ должны действовать две силы, равные по модулю и противоположные по направлению. Рассмотрим, на каком из трех участков 1, 2, 3 может быть выполнено это условие. Для определенности будем считать, что заряд q₃ – положительный. У сил, действующих на третий заряд, первый индекс указывает номер точки (номер участка), второй – номер заряда, который действует на третий заряд.

На участке 2 на заряд q₃ действуют две сонаправленные силы: и , поэтому равновесие на этом участке невозможно.

На участках 1 и 3 силы направлены в противоположные стороны и равновесие возможно.

Итак, подозрительны два участка. В силу симметрии задачи безразлично какой именно участок взять за исходный. Начнем с участка 1.

Расстояние между первым и третьим зарядом на участке 1 обозначено .

Равновесие зарядов определяется первым законом Ньютона: . Или в проекции на ось «х» .

Воспользуемся законом Кулона: .

Решение проще провести, подставив значения заряда: . Получаем два решения: . Оба корня отрицательны, т.е. расстояние необходимо отсчитывать в противоположном направлении – от заряда 1 к заряду 2.

Первый корень посторонний, т.к. точка находится в области 2, где равенство сил невозможно. Остается второе решение .

Выясним знак заряда , при котором равновесие будет устойчивым. Равновесие называется устойчивым, если при смещении заряда от положения равновесия возникают силы, возвращающие его в положение равновесия. Рассмотрим смещение заряда в двух случаях: когда заряд положителен и отрицателен.

Если заряд положителен, то при смещении его влево (в сторону заряда ) обе силы и возрастают.

Если заряд отрицателен, то направление всех сил изменит свое направление на противоположное указанным на рисунке, но т.к. в решение не входит значение заряда , то найденное значение остается в силе. Смещение заряда влево опять вызовет увеличение сил и . И опять сила возрастает быстрее, чем , но результирующая сила будет направлена вправо – от второго заряда.

При отрицательном заряде равновесие является устойчивым. Как отмечали, значение самого заряда несущественно.

Ответ: для равновесия третий заряд необходимо поместить за вторым зарядом на расстоянии 75 см от первого, значение третьего заряда не существенно, а для его устойчивого равновесия он должен быть отрицательным.

Пример 2. Три точечных заряда q₁ = q₂ = q₃=1 нКл расположены в вершинах равностороннего треугольника. Какой заряд q₄ нужно поместить в центре треугольника, чтобы указанная система зарядов находилась в равновесии?

q1=q2=q3=1,0 нКл α=π/6		Ось «х» ИСО свяжем со стороной . Все три заряда, расположенные по вершинам треугольника, находятся в оди-
q4 – ?

наковых условиях, поэтому достаточно выяснить, какой заряд следует поместить в центре треугольника, чтобы один из трех зарядов, на пример , находился в равновесии. Заряд будет находиться в равновесии, если сумма действующих на него сил равна нулю (первый закон Ньютона): Уравнение целесообразно спроектировать на направление силы .

Воспользуемся законом Кулона: . Выразим расстояния через длину стороны а. , . . .

.

Следует отметить, что равновесие системы зарядов будет неустойчивым.

Ответ: для равновесия в центр треугольника необходимо поместить заряд - 0,23 нКл, равновесие будет неустойчивым.

Пример 3. На тонком стержне длиной ℓ = 20 см находится равномерно распределенный электрический заряд. На продолжении оси стержня на расстоянии см от ближайшего конца находится точечный заряд q=40 нКл, который взаимодействует со стержнем с силой F = 6 мкН. Найдите линейную плотность τ заряда на стержне.

ℓ = 20 см, R = 10 см, q=40 нКл, F = 6 мкН		Для определенности рисунка считаем заряды одноименными. Ось «х» ИСО лежит вдоль стерж ня. Сила взаимодействия -
τ - ?

F заряженного стержня с точечным зарядом зависит от линейной плотности заряда на стержне.

.

Ответ: линейная плотность заряда стержня 10 нКл/м.

Пример 4. Два точечных электрических заряда q₁ = 1 нКл и q₂ = –2 нКл находятся в воздухе на расстоянии R = 10 см друг от друга. Вычислить напряженность и потенциал поля, создаваемого этими зарядами в точке, удаленной от заряда q₁ на расстояние R₁ = 9 см и от заряда q₂ на R₂ = 7 см.

q1 = 1 нКл q2 = –2 нКл R = 10 см R1 = 9 см R2 = 7 см		Согласно принципу суперпозиции электрических полей, каждый заряд создает поле независимо от присутствия в пространстве других зарядов, поэтому напряжен-
Е, φ - ?

ность Е электрического поля в искомой точке находят как геометрическую сумму напряженностей, создаваемых каждым зарядом: .

Модуль вектора находят по теореме косинусов: .

Здесь – угол напротив стороны Е.

Напряженности находят по формулам для точечного заряда: , , а для треугольника из сторон: . Объединив результаты, получают .

Согласно принципа суперпозиции, потенциал точки равен:

.

кВ/м.

Ответ: напряженность 36 кВ/м, а потенциал -

160 В.

Пример 5. По тонкому кольцу равномерно распределен заряд q = 40 нКл с линейной плотностью τ =50 нКл/м. Вычислить напряженность Е электрического поля, создаваемого этим зарядом в точке А, лежащей на оси кольца и удаленной от его центра на расстояние, равное половине радиуса.

q = 40 нКл, τ =50 нКл/м, h=R/2
E - ?

Совместим координатную плоскость хОу с плоскостью кольца, а ось Oz – с осью кольца. На кольце выделим малый участок длиной . Он несет заряд , который можно считать точечным, и напряженность электрического поля, создаваемого этим зарядом, может быть записана в виде: , где – радиус-вектор, направленный от элемента к точке А.

Разложим вектор на две составляющие: , перпендикулярно плоскости кольца (сонаправленную с осью Oz), и , параллельную плоскости кольца (плоскости хОу). Далее необходимо проинтегрировать. Иинтегрирование ведется по всем элементам заряженного кольца. Интегрирование упростится, если каждому элементу поставить в соответствие симметрично расположенный элемент . Тогда, как видно из рисунка, горизонтальные составляющие компенсируют друг друга и остается составляющая . .

Составляющие для всех элементов сонаправлены и векторное сложение заменяется суммированием, т. е. .

Радиус кольца находим из данных задачи: по определению . Дополнительно учтем соотношение между радиусом кольца и высотой точки наблюдения над ним и получим:

.

Ответ: напряженность в точке наблюдения направлена вдоль оси «z» и составляет 1,2 кВ/м.

Пример 6. Две концентрические проводящие сферы радиусами R₁=6,0 cм и R₂=10 см несут соответственно заряды q₁=1,0 нКл и q₂= –0,5 нКл. Найти напряженность поля в точках, отстоящих от центра сфер на расстояниях R₃=5,0 см, R₄=9,0 см, R₅=15 см. Построить график Е(R).

R1=6,0 cм R2=10 см q1 = 1,0 нКл q2 = –0,5 нКл., r1=5,0 см, r2=9,0 см, r3= 15 см.
Еi , Е(R) – ?

Для решения задачи удобно воспользоваться законом (теоремой) Остроградского – Гаусса или готовым результатом (формулы 70).

По условию задачи, точки, в которых требуется найти напряженности электрического поля, лежат в трех областях( 1, П, Ш).

Область 1. Проведем сферу радиусом через интересующую точку выбранной области. Это соответст-

вует случаю 70а, т.е.

Область П. Проведем сфера радиуса через интересующую точку. Это соответствует случаю 70в.

.

Область Ш. Выбранная точка лежит на сфере радиуса . Это соответствует случаю 70в, но нужно учесть, что полный заряд равен алгебраической сумме зарядов.

.

.

.

Для построения графика найдем значения напряженности при переходе границ проводящих сфер. ,

с низу,

с верху, .

Ответ: напряженность поля в точке 1 , в точке П – , в точке Ш .

Пример 7. Точечный заряд q = 25 нКл находится в поле, созданном прямым бесконечным цилиндром радиусом R = 1,0 см, равномерно заряженным с поверхностной плотностью λ=2,2. нКл/см². Вычислите силу, действующую на заряд, если его расстояние от оси цилиндра R₁= 10 см.

q = 25 нКл R = 1,0 см λ=2,2. нКл/см2 R1= 10 см
F –?

Из определения напряженности поля находят силу: .

Здесь Е напряженность, созданная бесконечным заряженным цилиндром . В свою очередь, линейная плотность заряда .

В итоге получается: .

Т.к. среда не оговорена, то считаем ее вакуумом – .

Ответ: на заряд действует сила 6,2 мН.

Пример 8. На пластинах плоского конденсатора находится заряд q=10 нКл. Площадь s каждой пластины конденсатора равна 100 см², диэлектрик – воздух. Вычислить силу F, с которой притягиваются пластины. Поле между пластинами считать однородным.

q=10 нКл, s=100 см2, ε=1	Заряд q одной пластины находится в поле напряженностью Е, созданном зарядом другой пластины конденсатора. Следовательно, на первый заряд действует сила: .
F - ?

Напряженность поля: . В свою очередь . В итоге: .

Ответ: пластины притягиваются друг к другу с силой 0,56 мН.

Пример 9. Электрическое поле создано длинным цилиндрам радиусом R₁=1,0 см, равномерно заряженным с линейной плотностью t =20 нКл/м. Вычислить разность потенциалов двух точек этого поля, находящихся на расстоянии a₁=0,5 см и а₂=2,0 см от поверхности цилиндра, в средней его части.

R1=1,0 см, t =20 нКл/м, a1=0,5 см, а2=2,0 см	Воспользуемся связью напряженности и потенциала поля: . Для поля с осевой симметрией выражение упрощается:
Δφ - ?

. Напряженность поля бесконечной нити: . Тогда: . Проинтегрируем: .

.

Ответ: разность потенциалов -250 В.

Пример 10. Вычислите ускоряющую разность потенциалов U, которую должен пройти в электрическом поле электрон, обладающий скоростью u₁=10⁶ м/с, чтобы скорость его возросла в n=2 раза.

e=1,6.19-19 Кл, u1=106 м/с, n=2.	Ускоряющую разность потенциалов можно найти, вычислив работу А сил электростатического поля: .
U - ?

Работа сил электростатического поля в данном случае равна изменению кинетической энергии электрона: .

В итоге: .

.

Ответ: электрону достаточно пройти разность потенциалов в 8,5 В.

Пример 11. Конденсатор емкостью C₁ =3,0 мкФ был заряжен до разности потенциалов U₁=40 В. После отключения от источника тока конденсатор соединили параллельно с другим незаряженным конденсатором емкостью С₂=5,0 мкФ. Какая энергия W израсходуется на образование искры в момент присоединения второго конденсатора?

C1=3,0 мкФ, U1=40 В, С2=5,0 мкФ.	Воспользуемся законом сохранения энергии: . Здесь: – энергия первого конденсатора,
W - ?

– энергия батареи конденсаторов.

В свою очередь: и .

В итоге: .

.

Ответ: энергия искры 1,5 мДж.

Пример 12. Потенциометр с сопротивлением R=100 Ом подключен к батарее, э. д. с. которой ε =150 В и внутреннее сопротивление r =50 Ом. Найдите: 1) показание вольтметра с сопротивлением R₁=500 Ом, соединенного с одной из клемм потенциометра и подвижным контактом, установленным посередине потенциометра; 2) разность потенциалов между теми жe точками потенциометра после отключения вольтметра.

R=100 Ом, ε =150 В, r=50 Ом, R1=500 Ом, R2=0,5 R
U, U1 - ?

Нарисуем принципиальную схему установки и ее эквивалентные схемы для каждого случая.

Показание вольтметра находят из определения сопротивления: .

Для нахождения тока воспользуемся законом параллельного соединения и , законом Ома для замкнутой цепи и законом сохранения заряда в форме .

.

Падение напряжения на половине резистора: . Силу тока находят из закона Ома для полной цепи: .

В итоге:

.

.

.

Ответ: вольтметр покажет 47 В, а на половине потенциометра падает напряжение 50 В.

Пример 13. Сила тока в проводнике сопротивлением R=20 Oм нарастает в течение времени Dt=2 с по линейному закону от I₀=0 до I=6 А. Найдите теплоту Q₁, выделившуюся в этом проводнике за первую секунду, и Q₂ , - за вторую, а также найти отношение Q₂/Q₁.

R=20 Oм, Dt=2 с, I=6t, t1=0, t2=1 c, t3=2 c.	Воспользуемся законом Джоуля – Ленца: . Тогда
Q1, Q2, Q2/Q1 - ?

.

.

.

Ответ: в первую секунду выделится теплота в 240 Дж, а во вторую – 1680 Дж, т.е. в семь раза больше.

Пример 14. Электрическая цепь состоит из двух гальванических элементов, трех сопротивлений и гальванометра (рис.). В этой цепи R₁=100 Ом, R₂=50 Ом, R₃=20 Ом, э. д. с. элемента ε₁=2 В. Гальванометр регистрирует силу тока I₃=50 мА, идущего в направлении, указанном стрелкой. Найдите э. д. с. ε₂ второго элемента. Сопротивлением гальванометра и внутренним сопротивлением элементов пренебречь.

R1=100 Ом, R2=50 Ом, R3=20 Ом, ε1=2 В, I3=50 мА.
ε2 - ?

Рядом с принципиальной схемой нарисуем ее эквивалентную схему, выберем направления токов и проставим обозначения точек.

Для расчета разветвленных цепей удобно пользоваться законами Кирхгофа.

1) Перед составлением уравнений необходимо произвольно выбрать: а) направления токов (если они не заданы по условию задачи) и указать их стрелками на чертеже (уже выполнено); б) направление обхода контуров – будем обходить контур против часовой стрелки.

2) При составлении уравнений по первому закону Кирхгофа считать токи, подходящие к узлу, положительными; токи, отходящие от узла, отрицательными. Число уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, должно быть на единицу меньше числа узлов, содержащихся в цепи.

3) При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа надо считать: а) падение напряжения (т. е. произведение IR) входит в уравнение со знаком плюс, если направление тока в данном участке совпадает с выбранным направлением обхода контура; в противном случае произведение IR входит в уравнение со знаком минус; б) э.д.с. входит в уравнение со знаком плюс, если при обходе приходится идти от минуса к плюсу внутри источника тока; в противном случае э. д. с. входит в уравнение со знаком минус.

Число независимых уравнений, которые могут быть составлены по второму закону Кирхгофа, должно быть на единицу меньше числа замкнутых контуров, имеющихся в цепи. При составлении уравнений первый контур выбирают произвольно. Все последующие контуры следует выбирать таким образом, чтобы в каждый новый контур входила хотя бы одна ветвь цепи, не участвовавшая ни в одном из ранее использованных контуров. Если при решении уравнений, составленных указанным выше способом, получены отрицательные значения силы тока или сопротивления, то это означает, что ток через данное сопротивление в действительности течет в направлении, противоположном произвольно выбранному.

В системе два узла. Запишем первый закон Кирхгофа для узла Д: .

В системе три контура. Воспользуемся контуром АБЕЖА и БВГДБ.

и

Эта система из трех линейных уравнений с тремя неизвестными легко решается подстановкой. Часто такие системы решают с помощью определителей. Воспользуемся подстановкой.

.

Ответ: э.д.с. второго элемента 4 В.

Пример 15. Пространство между пластинами плоского конденсатора имеет объем V=375 см³ и заполнено водородом, который частично ионизирован. Площадь пластин конденсатора s=250 см². При каком напряжении U сила тока, протекающего через конденсатор, достигнет значения I =2 мкА, если концентрация ионов в газе n=5,3 10⁷ см^-3?

V=375 см3, s=250 см2, I=2 мкА, n=5,3 107 см-3.	Напряжение U на пластинах конденсатора можно связать с напряженностью Е электрического: . С другой стороны, напряженность
U - ?

поля определяет плотность тока: ^[5].

.

Ответ: напряжение между обкладками конденсатора 110В.