8.17. Примеры решения задач по оптике

Пример 1. Oт двух когерентных источников S₁, и S₂ (λ=0,80 мкм) лучи попадают на экран. На экране наблюдается интерференционная картина. Когда на пути одного из лучей перпендикулярно ему поместили мыльную пленку (n=1,33), интерференционная картина изменилась на противоположную.

наблюдаться интерференционное минимумы. Такой сдвиг интерференционной картины возможен при изменении оптической разности хода пучков световых волн на нечетное число половин длин волн, т. е. , где k=0, ±1, ±2,... .

Наименьшей толщине d_min пленки соответствует . При этом .

Оптическая разность хода: .

В итоге: .

Ответ: минимальная толщина мыльной пленки 1,21 мкм.

Пример 2. На стеклянный клин с малым углом нормально к его грани падает параллельный пучок лучей монохроматического света с длиной волны λ=0,60 мкм. Число m возникающих при этом интерференционных полос, приходящихся на l см, равно 10. Найти угол α клина.

λ=0,60 мкм, m=10 см-1, n=1,5.		Параллельный пучок света отражается как от верхней, так и от нижней грани. Эти отраженные пучки света когерентны, поэтому на поверхности клина
α -?

будут наблюдаться интерференционные полосы. Так как угол клина мал, то отраженные пучки 1 и 2 света (см. рис.) будут практически параллельны.

Темные полосы видны на тех участках клина, для которых разность хода лучей кратна нечетному числу половин длин волн: .

Оптическая разность хода Δ двух волн складывается из разности оптических длин путей этих волн (оптическая длина хода луча 2 в пленке) и половины длины волны из-за отражения луча 1 от оптически более плотной среды. Объединим результаты: , где d_k–толщина клина в том месте, где наблюдается темная полоса, соответствующая номеру k; i₂–угол преломления.

Согласно условию угол падения равен нулю, следовательно, и угол преломления i₂ равен нулю, a . .

Мы приняли, что произвольной темной полосе номера k соответствует толщина клина d_k, темной полосе номера k+m – толщина клина d_k+m и, учитывая, что m полос укладывается на расстоянии ℓ, имеем: .

В итоге:

.

Ответ: угол клина 2,0^.10^-6 радиан.

Пример 3. На дифракционную решетку в направлении нормали к ее поверхности падает монохроматический свет. Период решетки d=2,0 мкм.

d=2,0 мкм , λ1=0,70 мкм, λ2=0,41 мкм.	Условие максимума дифракционной решетки позволяет найти порядок (номер) максимума: .
ki -?

Так как не может быть больше , то число порядок максимума .

.

.

Ответ: для красного свет возможно наблюдение двех спектров, а для фиолетового – четыре.

Пример 4. Пучок естественного света падает на полированную поверхность стеклянной пластины, погруженной в жидкость. Каков показатель преломления жидкости, если отраженный от пластины пучок света максимально поляризован и образует угол φ =97° с падающим пучком?

ному показателю преломления , где п₂₁–показатель преломления второй среды (стекла) относительно первой (жидкости).

Так как угол падения равен углу отражения, то i₁=φ/2 и, следовательно, , .

.

Ответ: у жидкости показатель преломления 1,33 – это скорее всего вода.

Пример 5. Два николя N₁ и N₂ расположены так, что угол между их плоскостями пропускания составляет α=60°. Во сколько раз уменьшится интенсивность I₀ естественного света: 1) при прохождении через один николь N₁; 2) при прохождении через оба николя. Коэффициент поглощения света в школе k =0,05. Потери на отражение света не учитывать.

α=60°, k =0,05.		Призма Николя (николь) преобразует естественно поляризованный свет в линейно-
I0 /Ii -?

поляризованный, при этом половина интенсивности теряется. Кроме этого, по условию задачи из-за не идеальности кристалла теряется еще и k-тая часть, т.е.: .

На второй николь падает линейнополяризованнй свет и интенсивность прошедшего света определяется законом Малюса, кроме этого необходимо учесть не идеальность кристалла: .

.

Ответ: первый николь уменьшит свет в 2,1 раза, а оба – в 8,9 раз.

Пример 6. Плоскополяризованный монохроматический пучок, света падает на поляроид и полностью им гасится. Когда на пути пучка поместили кварцевую пластину, интенсивность пучка света после поляроида стала равна половине интенсивности пучка, падающего на поляроид. Какова минимальная толщина кварцевой пластины? Поглощением и отражением, света поляроидом, пренебречь. Постоянная вращения кварца α=48,9 град/мм.

φ0=π/2, I/I0=0,5, α=48,9 град/мм.	Прохождение поляризованного света через анализатор (поляроид) описывается законом Малюса: . Оптически активное вещество поворачивает
ℓ -?

плоскость поляризации на угол .

Таким образом: .

.

Ответ: на пути пучка достаточно поместить кварцевую пластину толщиной 0,93 мм.

Пример 7. Каков импульс р и кинетическая энергия Т электрона, движущегося со скоростью υ =0,9 с, где с–скорость света в вакууме.

υ =0,9 с .	По определению, импульс релятивисткой частицы: .
p, T -?

Здесь m₀ – масса покоящейся частицы.

Кинетическая энергия релятивисткой частицы: .

.

.

Ответ: импульс и кинетическая энергия релятивистского электрона 5,6 10^{-20 кг м}/с и 1,0 10^-11 Дж.

Пример 8. Найти релятивистский импульс электрона, обладающего кинетической энергией Т=5,00 МэВ.

Воспользуемся релятивистcким инвариантом и определением кинетической энергии . .

Энергия покоя электрона .

.

Ответ: импульс релятивистского электрона .

Пример 9. Длина волны, на которую приходится максимум энергии в спектре излучения абсолютно черного тела, λ_m=0,58 мкм. Найти энергетическую светимость (излучательность) Re поверхности тела.

λm=0,58 мкм, a= см.	Энергетическая светимость Re абсолютно черного тела входит в закон Стефана–Больцмана: .
Re -?

Температуру Т можно выразить с помощью закона смещения Вина: .

В итоге: .

.

Ответ: энергетическая светимость тела 3,54 ГВт/м².

Пример 10. Какова максимальная скорость υ фотоэлектронов, вырываемых с поверхности серебра: 1) ультрафиолетовым излучением с длиной волны λ₁=0,155 мкм; 2) γ-излучением с длиной волны λ₂=1,00 пм.

λ1=0,155 мкм , λ2=1,00 пм, А=7,5.10-19Дж.	Воспользуемся уравнением Эйнштейна для фотоэффекта: . .
υi -?

.

.

Скорость фотоэлектрона во втором случае сравнима со скоростью света, т.е. это релятивистский электрон и для него необходимо использовать другую формулу для кинетической энергии: . .

.

Ответ: первый фотоэлектрон имеет скорость 1,0 Мм/с, а γ-фотоэлектрон – релятивистский электрон и его скорость 2,96^.10⁸ м/с.

Пример 11. В результате эффекта Комптона фотон при соударении с электроном был рассеян на угол =90°. Энергия рассеянного фотона ε₂=0,40 МэВ. Найдите энергию фотона ε₁ до рассеяния.

=90°, ε2=0,40 МэВ.	По определению энергия фотона: .
ε1 -?

Длину волны фотона найдем из формулы Комптона:

. .

Окончательно: .

Проверим наименование: .

Учтем, что энергия покоя электрона .

.

Ответ: в эффекте Комптона участвовал электрон с энергией 3,0^.10^-19 Дж.

Пример 12. Пучок, монохроматического света с длиной волны λ=663 нм падает нормально на зеркальную плоскую поверхность. Поток излучения Ф_е=0,60 Вт. Найти: 1) силу давления F, испытываемую этой поверхностью; 2) число фотонов n, ежесекундно падающих на поверхность.

λ=663 нм, Фе=0,60 Вт, ρ=1.	Из определения давления, сила светового давления на поверхность равна: . Давление света: .
F, n -?

А энергетическая освещенность (Е_е) входит в поток -- .

В итоге: .

Поток излучения можно выразить и через энергию фотонов: . .

.

.

Ответ: на 1 м² поверхности за 1 с падает 2,0^.10¹⁸ фотонов и на него действует сила 4,0 нН.