8.5. Примеры решения задач по механике

Пример 1. Уравнение движения материальной точки вдоль оси имеет вид , где А=2,0 м, В= 2,0 м/с, С=-0,5 м/с³.

А=2,0 м, В= 2,0 м/с, С = -0,5 м/с3, t=2,0 c	Рассмотрим движение в системе отсчета (СО), заданной задачей. Координату х(t) найдем, подставив в уравнение движения числовые значения коэффициентов А, В и С и времени t:
x(t), v, a - ?

(м).

Для нахождения скорости воспользуемся определением скорости: (м/с).

Для нахождения ускорения воспользуемся его определением: .

(м/с²).

Ответ: в точке с координатой м материальная точка движется ускоренно против оси «х» ее скорость -4,0 м/с, ускорение -6,0 м/с².

Пример 2. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону , где рад, 1/с, 1/с².

, , 1/с, 1/с2 , R=0,1 м, t=4,0 с.
а - ?

Ось «z» СО свяжем с осью вращенья. Полное ускорение а точки, движущейся по кривой линии, можно найти как геометрическую сумму тангенциального ускорения и нормального ускорения а_n. Модуль ускорения . Нормальную составляющую ускорения задает выражение: , а угловую скорость из ее определения .

Тангенциальную составляющую ускорения задает выражение , а угловое ускорение .

В итоге:

.

(м/с2) .

Ответ: полное ускорение точки 1,6 м/с².

Пример 3 Ящик массой m=20 кг соскальзывает по гладкому лотку длиной ℓ=2 м на неподвижную тележку с песком и застревает в нем. Тележка с песком массой m₁=80 кг может свободно (без трения) перемещаться по рельсам в горизонтальном направлении. Вычислить скорость и тележки с ящиком, если лоток наклонен под углом α=30° к рельсам.

m=20 кг ℓ=2 м m1=80 кг α=300
u - ?

СО свяжем с землей.

Тележку и ящик можно рассматривать как систему двух не упруго взаимодействующих тел (материальных точек). В направлении «y» система незамкнута и вертикальная составляющая импульса «гасится». В направлении «x» система замкнута, и можно применить закон сохранения импульса:

.

Скорость , это х- составляющая скорости падения ящика () (рис. с наклонной плоскостью) . Ее можно найти разными способами.

Воспользуемся законом сохранения энергии. В исходном состоянии ящик обладает потенциальной энергией , которая в конце наклонной плоскости переходит в кинетическую . Приравняем их и получим:

.

Ответ: тележка начнет двигаться со скоростью

.

Пример 4. На спокойной воде пруда перпендикулярно берегу и носом к нему стоит лодка массой М и длиной ℓ. На корме стоит человек массой т. На какое расстояние s удалится лодка от берега, если человек перейдет с кормы на нос лодки? Силами трения и сопротивления пренебречь.

M, ℓ, m		Можно предложить, по крайней мере, два простых способа решения задачи. Каждый из
s- ?

них использует замкнутость системы

В каждом случае движение рассматривается относительно земли.

1) Необходимо найти .

Внутренние силы не могут вызвать смещения центра масс системы, и при перемещении человека по лодке расстояние от берега до центра масс системы человек-лодка остается неизменным. Перемещение происходит вдоль оси , поэтому достаточно рассмотреть -совую координату. Тела считаем материальными точками.

По определению центра масс:

2) Как только человек начнет движение к берегу со скоростью , лодка начнет двигаться в противоположном направлении со скоростью .

Если время движения человека , то лодка уйдет от берега на расстояние . Человек движется относительно лодки со скоростью и время его

движения по лодке . Связь скоростей движений можно найти из закона сохранения импульса:

Или в проекции на ось

.

Объединив все выражения, вновь приходим к решению .

Ответ: лодка отойдет от берега на расстояние .

Пример 5. При выстреле из пружинного пистолета вертикально вверх пуля массой m=20 г поднялась на высоту h=5 м. Вычислить жесткость k пружины пистолета, если она была сжата на х=10 см. Массой пружины и силами трения пренебречь.

m=20 см, h=5 м, x=10 см	В тексте задачи движение описано в СО, связанной с землей. В системе пружина – пуля действуют только консервативные силы и для решения задачи можно воспользоваться законом сохранения энергии в механике.
k- ?
		.

Ответ: жесткость пружины .

Пример 6. Шар массой т, движущийся горизонтально с некоторой скоростью v, столкнулся с неподвижным шаром массой т₁.

m, v, m1		Свяжем СО с землей. Доля энергии, переданной первым шаром второму, выразит
n - ?

ся соотношением: . Здесь – кинетическая энергия первого шара до удара, – кинетическая энергия первого шара после удара.

Воспользуемся законом сохранения импульса и законом сохранения энергии:

.

Для проекций на ось х получаем:

.

Исключают из последней системы уравнений ненужную неивестную u, и находят соотношение скоростей v и v₁ – .

В принципе задача решена, но интересен анализ решения. Для этого воспользуемся промежуточным результатом: .

1. Хорошо известный из повседневной практики случай: мяч ударяется о стену, т.е. . Результат подтверждается практикой: мяч отскакивает от стены в противоположном направлении с той же (по модулю) скоростью.

2. Сталкиваются два тела равной массы (бильярдный шар налетает на второй), т.е. Буквально . Первый шар остановится, и если выписать выражение для , то будет видно . Второй шар будет двигаться как двигался первый!

3. Тело большой массы налетает на легкое тело: человек бьет рукой по воздушному шару (ногой делают удар по мячу): . . Или . Действительно, рука или нога не замечают такой преграды.

Как видно, сопоставление результатов решения задачи с повседневным опытом позволяет судить о правильности решения.^[1]

Ответ: .

Пример 7. Через блок в виде сплошного диска, имеющего массу 80 г, перекинута тонкая гибкая нить, к концам которой подвешены грузы массами 100 г и 200 г. Найдите ускорение, с которым будут двигаться грузы, если их предоставить самим себе. Трением и массой нити пренебречь. Нить считать нерастяжимой, а блок не деформируемым.

m=80 г, m1=100 г, m2=200 г		Движение грузов задано в лабораторной системе отсчета, т.е. в ИСО. Нарисуем силы, действующие на грузы. Для определенности рисунка считаем, что груз 1 движется в низ с ускорением . Соответственно второй груз поднимается с ускорением .
а - ?

Запишем 2-ой закон Ньютона для грузов:

В проекции на вертикальную ось (ось «у»):

(1)

Здесь четыре неизвестных. Воспользуемся нерастяжимостью нити. Раз нить нерастяжима, то все ее точки движутся с одинаковой скоростью и ускорением, т.е. . (Одно неизвестное убрали.)

Рассмотрим движение последнего третьего тела – блока^[2].

К блоку приложены две некомпенсированных силы – силы натяжения нитей. Они вызывают его ускоренное вращение. Запишем для блока второй закон Ньютона и дополним его связью линейных и угловых характеристик:

В проекции на ось вращения (ось «»):

(2)

Появилось два новых неизвестных: момент инерции диска () и радиус диска (). Их можно исключить из последней системы уравнений воспользовавшись формулой для момента инерции диска: .

В итоге получим три уравнения с тремя неизвестными: .

.

Знак «-» указывает на неверность предположения о движении первого груза вниз. На самом деле он движется вверх.

Наименование ответа очевидно.

Ответ: первый груз поднимается, а второй опускается с ускорением 3,1 м/с².

Пример 8. Маховик в виде сплошного диска радиусом R=0,2 м и массой 50 кг раскручен до частоты вращения 480 мин^-1 и предоставлен сам себе. Под действием сил трения маховик остановился через 50 с. Найдите момент сил трения.

R=0,2 м m=50 кг v0=480 мин-1 υ=0 t=50 с		Движение задано относительно земли, т.е. в ИСО. Будем считать, что маховик вращается по часовой стрелке (вектор угловой скорости направлен от нас). Тогда силу трения нужно направить вниз.
М - ?

Воспользуемся вторым законом Ньютона для вращения и кинематическими уравнениями (формулой скорости замедленного вращения): . Дополним систему формулой момента инерции диска и выразим угловую скорость через частоту вращения .

Спроектируем первое уравнение на ось вращения и учтем остановку маховика.

Разрешим систему относительно момента торможения:

.

Ответ: к маховику приложен тормозящий момент 25 Нм.

Пример 9. Платформа в виде сплошного диска радиусом R=1,5 м и массой m=180 кг вращается около вертикальной оси с частотой n=10 мин^-1 . В центре платформы стоит человек массой m₁=60 кг. Какую линейную скорость v относительно пола помещения будет иметь человек, если он перейдет на край платформы?

R=1,5 м m=180 кг n=10 мин-1 m1=60 кг		Движение задано относительно земли. Линейную скорость движения
v - ?

человек можно выразить через угловую скорость вращения платформы: .

Угловую скорость платформы во втором случае () найдем из законно сохранения импульса: .

В первом случае момент инерции системы равен моменту инерции платформы: . Во втором случае, момент инерции системы складывается из момента инерции платформы и момента инерции человека (материальной точки) относительно оси вращения .

В итоге имеем:

.

Ответ: человек движется относительно земли со скоростью 0,9 м/с.

Пример 10. Ракета установлена на поверхности Земли. При какой вертикальной скорости, сообщенной при запуске, ракета удалится от поверхности на расстояние, равное радиусу Земли? Всеми силами, кроме гравитационного взаимодействия ракеты и Земли, пренебречь.

В свою очередь:

Ответ: ракете необходимо сообщить скорость 7,9 км/с.

Пример 11. Точка совершает гармонические колебания с частотой v= 10 Гц. В момент, принятый за начальный, точка имела максимальное смещение: х_мах= 1 мм. Записать уравнение колебаний точки и начертить их график.

Начнем с амплитуды.

Амплитуда – наибольшее отклонение от положения равновесия, т.е. .

Циклическая частота легко выражается через линейную: .

Начальную фазу найдем из начальных условий: .

Итак:	.	Построим график.
		Ответ: уравнение колебаний имеет вид: .

Пример 12. Частица массой m=0,01 кг совершает гармонические колебания с периодом Т =2,0 с. Полная энергия колеблющейся частицы Е=0,1 мДж. Найдите амплитуду колебаний и наибольшее значение силы, действующей на частицу.

Силу найдем по второму закону Ньютона: .

Ускорение маятника найдем по определению ускорения: .

Закон колебаний выберем в виде: .

Вторая производная имеет вид: . Максимум ускорения определяется максимумом синуса, т. е.: .

Тогда .

.

.

Ответ: амплитуда колебаний 0,04 м, наибольшая сила – 3,4 мН.

Пример 13. Складываются два колебания одинакового направления, выраженные уравнениями: и , где A₁=3,0 см; A₂=2,0 cm; t₁=1/6 с; t₂ =1/3 с; Т=2,0 с. Построить векторную диаграмму сложения этих колебаний и написать уравнение результирующего колебания.

A1=3,0 см; A2=2,0 cm; t1=1/6 с; t2 =1/3 с; Т=2,0 с.	СО задана условием задачи. Для построения векторной диаграммы сложения двух колебаний одного направления надо фиксировать какой-либо момент времени. Обычно векторную диаграмму строят для момента времени t=0. Преобразуем оба уравнения к канонической форме:
- ?

Видно, что оба складываемых гармонических колебания имеют одинаковую циклическую частоту (с^-1).

Начальные фазы первого и второго колебаний соответственно равны:

, .

Изобразим векторы A₁ и А₂. Для этого отложим отрезки длиной A₁=3 см и А₂=2 см под углами j₁= π/6 рад и j₂=π/3 рад к оси х. Результирующее колебание будет происходить с той же частотой w и амплитудой , равной геометрической сумме амплитуд

.

Согласно теореме косинусов .

Начальную фазу результирующего колебания можно также Найти непосредственно из векторной диаграммы:

.

Произведем вычисления:

(см).

.

Выполним построения.

Ответ: уравнение колебаний имеет вид:

м.

Пример 14. Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях, уравнения которых:

и , гдe А₁=1 см; w₁=p с-¹; A₂=2 см; w₂=π/2 с-¹. Найдите уравнение траектории точки. Постройте траекторию с соблюдением масштаба и указать направление движения точки.

, , А1=1 см; w1=p с-1; A2=2 см; w2=π/2 с-1	СО задана условием задачи. Уравнение траектории задано в параметрическом виде. Для перехода к каноническому виду необходимо исключить время. Воспользуемся формулой косинуса половинного угла:
- ?

Тогда:

Подставим

или .

Это каноническое уравнение параболы симметричной относительно оси «х». Вершина параболы находится в точке (-1, 0).

Ветви параболы ограничены значениями:

и .

Составим таблицу значений полученного решения. Для построения параболы достаточно пяти точек.

Начертите систему координат. Выберите единицу масштаба (например, сантиметр). Постройте точки и проведите через них плавную кривую. Траектория движения представляет часть параболы, заключенную в прямоугольник.

Из исходных уравнений находим, что период колебаний точки по горизонтальной оси Тх=2 с, а по вертикальной оси Ту=4 с. Следовательно, период движения 4 с. В начальный момент (t=0) координаты тела (1, 2), т.е. точка A траектории. В момент t=ℓ с координаты – (-1, 0) – вершина параболы. В момент t=2 с координаты (1, -2) – тело находится в точке В.

После этого оно будет двигаться в обратном направлении (стрелки лежат левее параболы).

Ответ: тело движется по параболе с периодом 4 с.

Пример 15. Плоская волна распространяется вдоль прямой со скоростью v=20,0 м/с. Две точки, находящиеся на этой прямой на расстояниях x₁=12,0 м и x₂=15,0 м or источника волн, колеблются с разностью фаз Δφ= 0,75 π. Найти длину волны λ, написать уравнение волны и найти смещение указанных точек в момент t=1,2 с, если амплитуда колебаний A =0,1 м.

(м).

Из определения длины волны находим .

(с^-1).

Теперь можно записать уравнение волны:

Вычислим смещения точек:

(м);

(м).

Ответ: уравнение волны ; длина волны 8 м; первая точка смещена от положения равновесия на -0,1 м, а вторая на 0,07 м.