4.1.1. Свободные колебания

Реальный свободный колебательный процесс является затухающим, так как всегда существуют потери колебательной энергии.

IR + U_c = E_s , L + IR + = 0

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний заряда в контуре:

+ + = 0.

Учитывая

w_о =

и принимая коэффициент затухания b=R/2L, получим

+ 2b+ w_o²q = 0

однородное дифференциальное уравнение затухающих колебаний.

Решением уравнения должна быть функция, которая отличается от нее 1-й и 2-й производных лишь постоянным сомножителем: q = y exp(-bt), где сомножитель y = y(t). Взяв производные по времени:

= ( - by)exp(-bt), = ( - 2b + b ²y) exp(-bt). Подставив их в дифференциальное уравнение и

разделив его на exp(-bt), получим:

+ w ²y = 0,

где w = частота затухающих колебаний.

Решение уравнения имеет вид:

y = q_o cos(wt + j).

Колебания заряда совершаются по закону:

q = q₀ e^-bt cos (wt+ j)

с частотой, меньшей собственной частоты контура: .

Это решение представляет собой уравнение затухающих колебаний. Величину q_m = q_oexp(-bt) называют амплитудой затухающих колебаний, q_o - начальная амплитуда колебаний, соответствующая моменту времени t = 0. Скорость затухания колебаний определяется величиной b, называемой коэффициентом затухания.

Чем больше сопротивление, тем больше коэффициент затухания.

Найдем время t_e, в течение которого амплитуда колебаний уменьшится в e раз. Из выражения q = q_oexp(-bt) получим

b = ln(q_o /q)/t_e.

Так как ln(q_o /q) = 1, то b = l/t_e

Физический смысл b - коэффициент затухания обратен времени, в течение которого амплитуда колебаний убывает в e раз.

Логарифмический декремент затухания

c=ln{q(t)/q(t+T)}= bT = T/t_e = 1/N_e

Логарифмический декремент затухания равен логарифму отношения соседних амплитуд: физический смысл c - логарифмический декремент затухания обратен числу колебаний, в течение которых амплитуда уменьшается в e раз.

Для характеристики колебательной системы часто употребляется величина называемая добротностью колебательной системы. Она пропорциональна числу колебаний N_e, в течение которых амплитуда уменьшается в e раз.

Частота затухающих колебаний меньше, чем w_o,_, потому что сопротивление замедляет движение.

Добротность колебательного контура

Q = p /c = pN_e, = p/bT=w_о/2b = .